Première : Article 2 - Spécialité Mathématiques
Bonjour,
Ce deuxième article consacré au programme de Première Générale portera sur le programme de Spécialité Mathématiques.
Bonne lecture !
La classe de première générale est conçue pour préparer au baccalauréat général, et audelà à une poursuite d’études réussie et à l’insertion professionnelle. L’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première générale est conçu à partir des intentions suivantes :
permettre à chaque élève de consolider les acquis de la seconde, de développer son goût des mathématiques, d’en apprécier les démarches et les objets afin qu’il puisse faire l’expérience personnelle de l’efficacité des concepts mathématiques et de la simplification et la généralisation que permet la maîtrise de l’abstraction ;
développer des interactions avec d’autres enseignements de spécialité ;
préparer au choix des enseignements de la classe de terminale : notamment choix de l’enseignement de spécialité de mathématiques, éventuellement accompagné de l’enseignement optionnel de mathématiques expertes, ou choix de l’enseignement optionnel de mathématiques complémentaires.
Le programme de mathématiques définit un ensemble de connaissances et de compétences, réaliste et ambitieux, qui s’appuie sur le programme de seconde dans un souci de cohérence, en réactivant les notions déjà étudiées et y ajoutant un nombre raisonnable de nouvelles notions, à étudier de manière suffisamment approfondie.
Le programme s’organise en cinq grandes parties : « Algèbre », « Analyse », « Géométrie », « Probabilités et statistiques » et « Algorithmique et programmation ». Ce découpage n’est pas un plan de cours et il est essentiel d’exploiter les possibilités d’interaction entre ces parties.
| Parties du programme | Contenu |
|---|---|
| - Algèbre : suites et polynômes du second degré | En classe de première, les suites sont présentées d’un point de vue principalement algébrique. L’objectif est que l’élève soit confronté à des systèmes discrets pour lesquels les suites numériques apparaissent comme modélisation adaptée. C’est aussi l’occasion d’aborder le concept de définition par récurrence. L’élève rencontre différents modes de génération de suites : par une formule explicite un = ƒ(n) ; par une relation de récurrence un+1 = ƒ(un) ; par des motifs géométriques ou combinatoires, par exemple suite de nombres figurés, suite décrivant le nombre d’éléments dans une configuration dépendant d’un entier naturel. Les suites arithmétiques et géométriques sont formalisées. D’autres types simples peuvent être abordés, mais aucune connaissance spécifique à leur sujet n’est au programme. L’étude des fonctions polynômes du second degré réactive les connaissances acquises en seconde (fonction carré, identités remarquables) qu’elle permet de consolider. Il est important de diversifier les registres (algébrique, graphique) et de mettre en valeur les interactions avec l’ensemble du programme : problèmes variés, notamment d’origine géométrique, se ramenant à une équation du second degré ou à l’étude d’une fonction polynôme du second degré (optimisation, variations). |
| - Analyse : dérivées, fonction exponentielle et trigonométrie | Deux points fondamentaux du programme de première sont ici étudiés : le concept de dérivée, avec ses applications à l’étude des fonctions, et la fonction exponentielle. L’étude de la dérivation distingue le point de vue local (nombre dérivé) et le point de vue global (fonction dérivée). Les fonctions étudiées sont toutes régulières et le nombre dérivé est introduit à partir de la perception intuitive de la limite du taux de variation. On n’en donne pas de définition formelle, mais on s’appuie sur: des représentations graphiques fournies par les outils logiciels (calculatrice, tableur, logiciel de géométrie dynamique) ; le calcul algébrique du taux de variation dans des cas qui s’y prêtent : fonctions du second degré, fonction inverse ; le calcul numérique d’expressions ƒ(a + h) - ƒ(a), où h prend des valeurs proches de 0, faisant apparaître une approximation linéaire, par exemple avec a = 1 et ƒ étant une des fonctions carré, inverse, racine carrée. Il est intéressant d’exploiter ces divers registres dans l’étude d’un même nombre dérivé. Taux de variation et nombre dérivé gagnent à être illustrés dans des contextes variés : en géométrie, ils représentent la pente d’une sécante et la pente d’une tangente ; en cinématique, on peut interpréter un taux de variation comme une vitesse moyenne et un nombre dérivé comme une vitesse instantanée ; dans un cadre économique, le nombre dérivé est relié au coût marginal. Compte tenu de son importance en mathématiques et dans de nombreux champs disciplinaires, et de ses interactions avec le concept de dérivée, le programme prévoit l’étude de la fonction exponentielle. On donnera des exemples d’utilisation dans les autres disciplines (calculs d’intérêts, dilution d’une solution, décroissance radioactive). En liaison avec les suites géométriques, c’est aussi l’occasion de proposer des modélisations discrètes ou continues de phénomènes d’évolution. Les fonctions trigonométriques font l’objet d’une première approche, d’un point de vue principalement graphique, en lien avec les autres disciplines scientifiques. C’est aussi l’occasion de rencontrer la notion de fonction périodique, également utile dans les sciences sociales (variations saisonnières). |
| - Géométrie : vecteurs (produit scalaire) et équation cartésienne de droites | L’étude de la géométrie plane menée au collège et en seconde a familiarisé les élèves à la géométrie de configuration, au calcul vectoriel et à la géométrie repérée. En première, on poursuit l’étude de la géométrie plane en introduisant de nouveaux outils. L’enseignement est organisé autour des objectifs suivants : donner de nouveaux outils efficaces en vue de la résolution de problèmes géométriques, du point de vue métrique (produit scalaire) ; enrichir la géométrie repérée de manière à pouvoir traiter des problèmes faisant intervenir l’orthogonalité. Les élèves doivent conserver une pratique du calcul vectoriel en géométrie non repérée. |
| - Probabilités et statistiques | L’enseignement dispensé en classe de seconde a abordé le modèle probabiliste, dans le cas d’un univers fini. En première, on développe l’étude de ce modèle. L’enseignement s’organise autour des buts suivants : introduire la notion de probabilité conditionnelle, sous-jacente dans toute modélisation probabiliste, et mettre en évidence la problématique de l’inversion des conditionnements ; formaliser la notion d’indépendance ; introduire la notion de variable aléatoire, en lien étroit avec les applications des probabilités; introduire les notions d’espérance, de variance et d’écart type d’une variable aléatoire. Comme en seconde, on distingue nettement modèle et réalité. Ainsi, une hypothèse d’indépendance fait partie d’un modèle : elle peut être un point de départ théorique ou être la conséquence d’autres hypothèses théoriques. Lorsque le modèle est appliqué à une situation réelle (par exemple, lancer de deux dés physiques), l’indépendance fait partie de la modélisation et résulte de l’analyse de la situation physique. Les notions de statistique descriptive vues en seconde sont articulées avec le cours de probabilités. Une population statistique peut être étudiée d’un point de vue probabiliste en considérant l’expérience aléatoire de tirage au sort avec équiprobabilité dans la population. Un lien est ainsi fait entre des notions statistiques (sous-population, proportion, moyenne, écart type) et les notions probabilistes analogues (événement, probabilité, espérance, écart type). La notion de fréquence conditionnelle ne fait pas l’objet d’une étude, mais on donne des situations de calcul de probabilité conditionnelle à partir d’un tableau croisé d’effectifs. Les arbres pondérés sont introduits à partir des arbres de dénombrements vus en seconde. |
| - Algorithmique et programmation | La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège, en mathématiques et en technologie, les élèves ont appris à écrire, mettre au point et exécuter un programme simple. La classe de seconde a permis de consolider les acquis du cycle 4 autour de deux idées essentielles : la notion de fonction ; la programmation comme production d’un texte dans un langage informatique. L’enseignement de spécialité de mathématiques de classe de première vise la consolidation des notions de variable, d’instruction conditionnelle et de boucle ainsi que l’utilisation des fonctions. La seule notion nouvelle est celle de liste qui trouve naturellement sa place dans de nombreuses parties du programme et aide à la compréhension de notions mathématiques telles que les suites numériques, les tableaux de valeurs, les séries statistiques… Comme en classe de seconde, les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python. Les notions relatives aux types de variables et à l’affectation sont consolidées. Comme en classe de seconde, on utilise le symbole « ← » pour désigner l’affection dans un algorithme écrit en langage naturel. L’accent est mis sur la programmation modulaire qui permet de découper une tâche complexe en tâches plus simples. |
A travers ces 5 thèmes, l'enseignement de spécialité mathématiques en classe de Première repose aussi sur de l'Histoire des Mathématiques, des démonstrations et un vocabulaire ensembliste et logique.
Vous pouvez retrouver l'intégralité du programme de Spécialité Mathématiques en Première en cliquant sur le lien suivant :
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